Équation de cercle - Exemples 2

On se rapporte à un repère orthonormé.
On vérifie si l'équation proposée est une équation de cercle. 

1. L'équation  \(x^2 + y^2- 2y + 1 = 4\)  est une équation de cercle car elle peut s'écrire sous la forme  \(x^2 + (y-1)^2 = 2^2\)  : c'est l'équation du cercle de centre  \(( 0 ; 1)\)  et de rayon 2.

2. L'équation  \(x^2 - 4x + 2 + y^2 = 0\)  est une équation de cercle car elle peut s'écrire sous la forme  \((x-2)^2 + y^2 = \sqrt 2^2\)  : c'est l'équation du cercle de centre  \(( 2 ; 0)\)  et de rayon \(\sqrt 2\) .

3. L'équation  \(x^2 + 3x + y^2- 5y = -10\)  n'est pas une équation de cercle car elle peut s'écrire sous la forme  \((x+1,5)^2 -2,25+ (y-2,5)^2 -6,25= -10\) , c'est-à-dire \((x+1,5)^2 + (y-2,5)^2 = -1,5 < 0\) ce qui est impossible dans \(\mathbb R\) .

4. L'équation  \(x^2 + 2xy + y^2 = 5\)  n'est pas une équation de cercle car elle ne peut pas s'écrire en tant que somme de deux carrés de binômes contenant séparément les variables  \(x\)  et  \(y\) .